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2.6 樣本統(tǒng)計(jì)量(統(tǒng)計(jì)量)(Sample Statistic)

統(tǒng)計(jì)圖表可方便展示資料，但對于資料的深入分析，其精確度與廣度仍不足。為了研究母體的特性(參數(shù))，仍須用一些統(tǒng)計(jì)量測數(shù)，借以了解母體的特性。常用的統(tǒng)計(jì)量測數(shù)為代表集中趨勢統(tǒng)計(jì)量、代表離散統(tǒng)計(jì)量與形狀統(tǒng)計(jì)量，來表達(dá)母體的分配情形。這些樣本統(tǒng)計(jì)量亦稱之樣本的特征值。

2.6.1集中趨勢統(tǒng)計(jì)量

集中趨勢統(tǒng)計(jì)量是用來衡量所有觀測值聚集的中心位置---(算術(shù))平均數(shù)、中位數(shù)、四分位數(shù)、眾數(shù)、截尾平均數(shù)

(a) 算術(shù)平均數(shù)(Arithmetic Mean)

在一般未分組的原始資料中，有n個觀測值，其集合為{x1, x2, …, xn |n?N}，則其算術(shù)平均數(shù)

=(x1 + x2 + …+ xn)/n = (xi)/n

對于分組資料，假定資料共有n個觀測值分為m組，令xi為第i組觀測值之組中點(diǎn)，fi為該組觀測值相對應(yīng)的次數(shù)，?fi = n。則其算術(shù)平均數(shù)為

=(x1f1+x2f2+…+xmfm)/n = (xi fi)/n

 (b) 中位數(shù)(Median)

中位數(shù)又稱為二分位數(shù)，是一種由小至大順序數(shù)列的中心項(xiàng)。將某筆資料n個觀測值由小而大順序排列，則其中間位數(shù)的觀測值即為中位數(shù)。若n為奇數(shù)，則第(n+1)/2位數(shù)的觀測值為中位數(shù)。若n為偶數(shù)，中位數(shù)即為第n/2位數(shù)與第(n/2)+1位數(shù)觀測值的算術(shù)平均數(shù)。

(c) 四分位數(shù)(Quartile)

將觀測值由小至大順序數(shù)列按位數(shù)分為四等分，Q1 , Q2 , Q3為其位數(shù)等分點(diǎn)之觀測值。第0個四分位(Q0)即是最小值，第1個四分位(Q1)是第25%的值，第2個四分位(Q2)是第50%的值(即中位數(shù))，第3個四分位(Q3)是第75%的值，第4個四分位(Q4)即是最大值。

(d) 眾數(shù)(Mode)

眾數(shù)是指統(tǒng)計(jì)資料中出現(xiàn)之次數(shù)最頻繁的觀測值。

(e) 截尾平均數(shù)(Trimmed Mean)---奧運(yùn)體操評分標(biāo)準(zhǔn)

系考慮算術(shù)平均數(shù)容易受兩端特別遠(yuǎn)離中心位置觀測值的影響，有時不能確切描述觀測值集中趨勢。即截頭去尾的方法，將Q1以下與Q3之上的觀測值排除，再計(jì)算Q1與Q3之間的觀測值的算術(shù)平均數(shù)。

2.6.2離散趨勢統(tǒng)計(jì)量

離散趨勢統(tǒng)計(jì)量是用來測量所有觀測值偏離中心的程度---全距、四分位間距、平均絕對偏差、變異數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)等

(a) 全距(Range)

Range = Max. –Min.

(b) 四分位間距(IQR, Inter-Quartile Range)

四分位間距= Q3-Q1

(c) 平均絕對偏差(MAD, Mean Absolute Deviation)

(d) 變異數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差(Variance and Standard Deviation)

若有N個母體觀測值{x1, x2, …, xN}，且母體平均值為m，則母體變異數(shù)為

對于樣本資料{ x1, x2, …, xn}，則樣本變異數(shù)為

變異數(shù)是取觀測值與母體平均數(shù)差之平方和，所以變異數(shù)的單位與原觀測值所用的單位不同。為取一致可將變異數(shù)的開平方根，則s 稱之母體標(biāo)準(zhǔn)差，作為對應(yīng)之離散量。另樣本標(biāo)準(zhǔn)差則相對為S。

對于分組資料，假設(shè)資料分為m組共有n個觀測值，令xi為第i組觀測值之組中點(diǎn)，fi為該組觀測值相對應(yīng)的次數(shù)， ?fi = n。則樣本變異數(shù)為

(e) 變異數(shù)系數(shù)(CV, Coefficient of Variance )

CV =(標(biāo)準(zhǔn)差/平均值)

2.6.3 形狀統(tǒng)計(jì)量

形狀統(tǒng)計(jì)量系用量測一組資料對稱與否，與分布形狀峰度之高低---分別為偏態(tài)系數(shù)與峰態(tài)系數(shù)。

(a) 偏態(tài)系數(shù)(Skewness)

偏態(tài)系數(shù)(SK)是對資料分配偏往某一方的趨勢(Tendency)。SK的值必介于 –3與3之間。其定義

(b) 峰態(tài)系數(shù)(Kurtosis)

峰態(tài)系數(shù)(K)是對資料分配峰度(Peakedness)的程度。其定義：